Lo scambio termico in regime transitorico viene effettuato mediante l’equazione di Fourier :

La soluzione di questa equazione può essere fatta mediante un calcolo di scomposizione in serie di funzioni ma il processo è lungo e molto difficoltoso. Si preferisce in questi casi applicare la soluzione numerica.

Il calcolo numerico dell’equazione sopra descritta viene fatto utilizzando due metodi, dei quali faremo riferimento solo al primo:

1-Metodo alle differenze finite;

2-Metodo agli elementi finiti;

La soluzione alle differenze finite è molto semplice, abbastanza precisa e, inoltre, può essere facilmente riproposta su calcolatore tramite un banale foglio di calcolo ( excel ad esempio).

Tale metodo è basato sulla discretizzazione geometrica del problema mediante suddivisione finita in celle (linee,superfici o volumi ) delle quali si considerano le singole proprietà, che rappresentano le variabili da trovare.

Studiamo come esempio il caso di una lastra piana inizialmente a temperatura

To:

In figura sono illustrate le curve che rappresentano l’andamento della temperatura dopo che, all’istante t=0, la lastra viene immersa in un liquido con temperatura T To. La parete di contatto raggiunge la nuova temperatura T, e ciò avviene istantaneamente se h1 e h2 ( rispettivamente coefficiente di convezione del fluido e coefficiente di convezione dell’ambiente esterno) sono tendenzialmente infiniti. Per verificare la veridicità dell’ipotesi sfruttiamo il numero di Biot

dove:

h = coefficiente di convezione

L = lunghezza relativa

l = coefficiente di convezione

(per questo caso L=S/2)

In base al valore del numero di Biot possiamo considerare h nel seguente modo:

L’ipotesi è valida quindi nel caso in cui il numero di Biot sia maggiore di 40, nell’altro caso non solo l’ipotesi non è accettabile ma il materiale tende a mantenere la sua temperatura costante evidenziando l’indipendenza dal parametro spaziale x.

Supponiamo per i nostri scopi l’ipotesi di B>40 accettabile. Procediamo nel seguente modo:

Si suddivide la lastra in un numero fissato di nodi N. Ad ogni nodo si fa corrispondere uno spessore Dx fissato al valore

tranne al primo ed ultimo nodo il cui valore di Dx è pari alla metà del valore nominale.

N rappresenta il numero di passi, Dx è il passo spaziale.

In modo analogo si procede alla discretizzazione del tempo in N nodi e Dt=t/(n-1) passi temporali ed alla discretizzazione di altre eventuali variabili. Si passa quindi a risolvere la rete elettrica equivalente:

( l’apice t sta ad indicare la temperatura all’istante attuale)

Essendo

sostituendo otteniamo

nella quale la variabile da trovare è e vale

In generale

però non può essere assunto arbitrariamente è anzi limitato ad un valore .Il motivo è ovvio: non è possibile infatti poter prevedere il comportamento del sistema oltre un certo passo temporale (appunto) altrimenti i valori non sarebbero più attendibili.

Usando come valori per R ed M i seguenti

la precedente equazione diventa

il si ottiene uguagliando i due termini relativi al valore

dalla quale si ottiene

se

si ha

avendo indicato con la diffusività termica. Un basso valore della diffusività tende a far rimanere la temperatura costante mentre, al contrario, un alto valore della diffusività tende a far variare istantaneamente la temperatura.

L’equazione per diventa

è però a sua volta un valore critico al quale si preferisce un valore più realistico quale potrebbe esseredefinito come

Anche con questo valore tuttavia l’equazione rimane semplice da risolvere

Una lastra piana ha una temperatura di .Al tempo t=0 la lastra viene immersa totalmente nell’olio bollente a .La sezione della lastra e di 12cm. Data una diffusività termica calcolare l’andamento della temperatura per un tempo t di 3 minuti.

dopo aver calcolato il passo temporale utilizziamo un foglio di calcolo per la soluzione finale: