Fluidodinamica

 

Argomenti della lezione :

 

La fluidodinamica è la branca della fisica meccanica che studia il moto dei fluidi in tutte le sue varie forme . Tali moti si dividono in interni , vale a dire dentro i condotti , ed esterni . Di questi ultimi sono di particolare interesse le applicazioni aerodinamiche in genere .

Il punto da cui partire per iniziare uno studio di fluidodinamica è la forza d’attrito . Alla base dei ragionamenti che si faranno in questa lezione c’è una legge detta di Newton ed una grandezza chiamata viscosità .

Fluido = sostanza che non ha forma e volume proprio ; si adatta infatti al recipiente che lo contiene .

 

 

La caratteristica fondamentale dei liquidi è il possedere un proprio volume e di essere perciò incomprimibili ( v = cost e di conseguenza r = cost ) , mentre quella degli aeriformi è la comprimibilità . Entrambi sono accomunati dal non avere una forma , ma dal seguire l’andamento del recipiente che li contiene . La branca della fluidodinamica che studia i liquidi si chiama Idraulica . Le stesse considerazioni che verranno fatte per i liquidi hanno validità anche per gli aeriformi , solo se è lecita

l‘ipotesi di r = cost .

 

Viscosità

= grandezza fisica , propria dei fluidi , che indica come essi trasmettano sforzi tangenziali .

Il sistema è formato da una lastra piana immersa in un fluido in moto . Si definisce :

Bordo d’attacco = il punto in cui il fluido investe il corpo

Strato limite dinamico = luogo dei punti la cui velocità del fluido raggiunge il 99% di quella del sistema prima del incontro con il corpo ( valore che chiameremo u¥ ) . Lo spessore di tale strato si indica con d . Questo spessore varia con la distanza x dal bordo d’attacco ed è simmetrico rispetto alla parete . Dalla definizione di strato limite dinamico si ha che

Fig. 1 - Variazione della velocità fino allo strato limite

 

Fig. 2 - Lo strato limite

 

Tale strato divide il fluido in due zone di influenza :

Suddividiamo ora gli sforzi in due categorie :

  1. normali
  2. tangenziali

entrambi riferiti alla parete che interagisce con il fluido .

Mentre i primi sono dovuti alla pressione prodotta dalle particelle del fluido , che si può raffigurare microscopicamente come un insieme di palline che muovendosi caoticamente colpiscono la parete in esame , i secondi sono legati al concetto di viscosità , in quanto sono generati da essa.

A livello ideale , un fluido privo di effetti viscosi interagisce con soli sforzi normali . Analogamente i solidi , in mancanza di attrito , scivolano gli uni su gli altri senza la necessità di vincere forze opposte al moto .

Come l’attrito anche la viscosità comporta la degradazione di energia meccanica in energia termica .

Fig. 3 - Sulle pareti inclinate , il fluido crea sforzi normali e tangenziali insieme ,

producendo una risultante di direzione comune R .

 

Legge di Newton

Ipotesi :

L’ipotesi di aderenza sta nel fatto che per quanto un fluido lambisca rapidamente la parete di un corpo , tale che la velocità relativa parete-fluido sia diversa da zero , esso diminuirà tale velocità con l‘avvicinarsi al corpo . Lo strato di fluido distante un infinitesimo dalla parete è aderente alla stessa e perciò la sua velocità è nulla .

Fig. 4 - Profilo delle velocità al variare della distanza dalla parete

 

La legge di Newton ci dice che se abbiamo un fluido in moto , che interferisce con un corpo solido , in prossimità dello stesso il fluido è sempre fermo . Lo sforzo tangenziale è proporzionale alla viscosità per la velocita di scorrimento (che si misura in ) . Per piccoli valori di questa velocità tutti i fluidi seguono la legge di Newton .

t sforzo tangenziale , si misura in Pa

u velocità

n normale alla parete

p parete

Su un diagramma relativo ad un fluido Newtoniano , che riporta t ( in Pa ) in funzione della velocità di scorrimento , si rappresenta la viscosità con la pendenza della retta .

I fluidi si dividono in :

  1. Newtoniani , la curva è una retta per l’origine
  2. Dilatanti , la curva si discosta dall’andamento rettilineo verso valori maggiori dello sforzo tangenziale . Mescolando questi materiali , essi assumono una consistenza maggiore
  3. Pseudoplastici , la curva si discosta dall’andamento rettilineo verso valori maggiori della velocità di scorrimento . Mescolandoli perdono di consistenza .

Fig. 5 - Diagramma dei fluidi viscosi

 

I fluidi non Newtoniani hanno memoria . Se si sta mescolando uno di questi e si decide di diminuire la velocità dell’operazione , non si percorre sul grafico il cammino appena seguito in direzione opposta , ma si compie un ciclo chiamato isteresi dei fluidi non Newtoniani . Le isteresi sono diverse a seconda che il fluido sia pseudoplastico o dilatante .

Fig. 6 - Diagramma d’isteresi

Come si misura la viscosità ?

Oltre alla normale viscosità con connotazione dinamica ne esiste una di tipo cinematico , che s’indica con n e da com’è definito rappresenta un rapporto tra le forze viscose e quelle d’inerzia

e si misura in .

Ad esempio per l’acqua dove r =1000 , la viscosità è 1000 volte più piccola di quella cinematica . Le due grandezze esprimono lo stesso concetto fisico degli sforzi tangenziali , ma è come se n fosse "normalizzata" attraverso l’inerzia del fluido . Le particelle tendono ad allontanarsi tanto più velocemente quanto più sono pesanti , ossia a parità di sforzo viene frenata più facilmente una corrente fluida a bassa densità , che non una ad alta densità . Un elevato valore di n è indice di un fluido molto leggero ma più portato a frenare per attrito , viceversa un basso valore indica che il fluido si oppone in modo minore al moto reciproco fluido parete .

 

Esperimento di Reynolds

Fig. 7 - Attrezzatura utilizzata da Reynolds .

 

Figura di spicco della fluidodinamica moderna è Reynolds , studioso dei moti dei fluidi entro i condotti di sezione circolare .

Preso un serbatoio pieno d’acqua e praticata un’apertura sulla parete , alla quale è collegato un tubo di materiale trasparente , originariamente vetro , è possibile studiare l’andamento del liquido nel condotto al variare della sua velocità w .

 

 

Per la (4) , si crea una variazione di portata nel tubo ( da cui deriva la variazione di velocità w ) solo variando la distanza dal pelo libero dell’acqua h .

 

Numero di Reynolds

Il risultato ottenuto inserendo nel condotto un liquido rivelatore colorato è il seguente :

 

Una volta scoperto sperimentalmente che la transizione da un regime all altro era caratterizzata dal valore costante del prodotto velocità per il diametro del condotto , il passo successivo era la definizione di un parametro di controllo chiamato numero di Reynolds . La transizione laminare turbolento avveniva in funzione della viscosità cinematica a valore di Re » 3000 , anche se più realisticamente si suole parlare di moto laminare per valori sotto il 2300 e di moto turbolento al di sopra del 4100 . All interno di tale intervallo non è possibile fare una previsione sul comportamento del sistema .

Il numero di Reynolds è un numero puro e perciò non dipende dal sistema di misura delle grandezze utilizzato .

 

Fig. 8 - Differenze tra moto laminare e moto turbolento

L’importanza di tale fenomeno è evidente nel caso del condotto di raffreddamento . Fornendo una quantità di calore Q , il liquido in regime laminare si scalda e la sua temperatura cala in modo graduale con la distanza dalle pareti del tubo . Forzando una situazione turbolenta invece si riesce a fare assorbire al liquido quantità di calore maggiori , migliorando le prestazioni del sistema .

Questo è il caso tipico dell impianto di raffreddamento di un’automobile , che viene dimensionato per un liquido con determinati valori di viscosità e di densità , per avere al suo interno un regime turbolento . Il funzionamento con un fluido non adeguato porta al surriscaldamento , al funzionamento anomalo ed infine al danneggiamento delle componenti meccaniche .

 

Fig. 9 - Sviluppo termico del fluido con la distanza dal tubo .

 

Problema di Poiseuille

Fig. 10 - Sistema studiato da Poiseuille

 

Ipotesi :

Si vuole determinare la perdita di pressione ( o come viene chiamata in gergo di carico ) del fluido attraverso il tubo dovuta a fenomeni di tipo viscoso . Il fenomeno della riduzione di pressione è connesso agli sforzi tangenziali che il fluido scarica sulle pareti del condotto , cosicchè il fluido muovendosi spinge il condotto nella direzione del moto . Dalle ipotesi precedenti si ricava che

Dall’equilibrio delle forze che agiscono sul fluido :

 

 

Dall’ipotesi di regime sviluppato abbiamo che e da quella dell’aderenza sappiamo che , da cui

da cui

 

Questa parabola indica il profilo della velocità del liquido nel tubo . Noto infine che u è sempre parallelo alla normale alla superficie A , si trova la velocità media w :

 

 

Sostituendo la (12) nella (11) si ottiene :

 

 

ossia il valore massimo della velocità u , che vale esattamente il doppio di quanto non si avrebbe se il profilo fosse piatto . Tale valore coincide con il vertice della parabola di Poiseuille .

Considerando un nuovo parametro adimensionale x chiamato fattore d’attrito , legato al numero di Reynolds dalla relazione

 

si trova l’espressione cercata per la perdita di carico :