IL MOTO ESTERNO

Il moto esterno, è quella parte della fluidodinamica che studia il moto dei fluidi intorno ai corpi, infatti coinvolge tutti i casi in cui un fluido viene a contatto con la superficie esterna di un corpo. Questo contatto avviene in due modi:

· l’ oggetto è fermo e il fluido si muove intorno ad esso

· il fluido è fermo e l’ oggetto si muove intorno ad esso.

La cosa importante è quindi, il moto relativo tra il fluido e il corpo con cui viene a contatto.

Prendiamo ora come esempio un corpo cilindrico qualsiasi (un palo della luce, una ciminiera,…)

investito dal vento:

Figura 1

Nel sistema descritto in figura 1, abbiamo un riferimento cartesiano in cui è la velocità con cui scorre il fluido con un profilo di velocità piatto. Vediamo che l’ aria lambisce il solido ma non lo può attraversare, perciò si sposta lungo la sua superficie. Di conseguenza, si avverte una diminuzione di velocità e un conseguente aumento di pressione nel fluido. In particolare nei punti A e B, la velocità è nulla e si ha una sovrapressione ( detti punti si chiamano: punti di ristagno ) invece, nei punti C e D, in cui il fluido ha velocità massima, la pressione è minima.

Un corpo può essere investito da due tipi di azioni:

· Azioni orizzontali ( per esempio dovute dal vento )

· Azioni verticali

Quando incontra un ostacolo, il fluido lo dovrà evitare e perciò si creano sforzi:

· pressioni o depressioni perpendicolari al corpo

· sforzi tangenziali causati dalla viscosità del fluido

Lo sforzo tangente (τ) è proporzionale alla viscosità del fluido, vediamo infatti che l’ olio grezzo produce sforzi tangenti molto forti, mentre quelli della benzina sono quasi trascurabili. Osserviamo inoltre, che gli sforzi normali producono F (la forza di trascinamento) che aumenta più il fluido è viscoso perché vengono implicate anche le componenti tangenti della forza sul corpo. A questo proposito possiamo vedere nella seguente tabella la viscosità di alcuni fluidi:

Tabella 1

Anche un fluido ideale provoca sforzi di trascinamento; per esempio, tornando alla figura 1, vediamo che se il fluido è ideale la pressione che esso esercita sulla superficie posteriore del cilindro è identica a quella esercitata nella faccia anteriore (quindi: ). In questa ipotesi la velocità gode di una simmetria sferica, quindi anche la pressione può beneficiare di questa simmetria. Il risultato è che gli sforzi normali si equilibrano perfettamente e il corpo rimane fermo e fluido. Un corpo che gode di queste simmetrie immerso in un fluido ideale (v = o), non viene né trascinato perché la risultante degli sforzi normali è nulla, né messo in rotazione dal fluido stesso perché gli sforzi tangenziali sono nulli.

Grafico 1

Consideriamo adesso i fluidi reali, ovvero i fluidi che possiedono una certa viscosità μ, facendo sempre riferimanto alla situazione descritta in fig.1.

Dato che l’ aria possiede una certa viscosità, si sviluppa un certo attrito con la superficie del cilindro. In questo caso, parte dell’ energia cinetica viene presa per scambio termico e come conseguenza, l’ aria che attraversa la sezione 1 ha maggiore energia rispetto a quella che passa attraverso la sezione 2. Avremo perciò, che la componente di forza normale alla superficie non avrà più posizione simmetrica, ma il suo valore tenderà a diminuire muovendosi da 0° a 180° in senso antiorario. La pressione avrà quindi, il seguente andamento:

Grafico 2

RESISTENZA E PORTANZA

Ogni volta che un oggetto viene posto in un fluido in moto, o si muove attraverso un fluido in quiete, nasce una forza agente nella direzione del moto del flluido rispetto all’ oggetto stesso (resistenza D), e può nascere una normale alla stessa direzione (portanza L). Dette forze si possono esprimere così:

A (l’ area frontale) è una superficie caratteristica, di solito la superficie o proiezione medesima, normale alla direzione del moto. L area frontale è il fattore di proporzione tra pressione e forza di trascinamento ed è proporzionale al coefficiente di aerodinamica (Cr) e alla viscosità del fluido.

Le equazioni sopracitate (D e L), definiscono il coefficiente di resistenza e quello di portanza ; tranne pochi casi essi debbono essere sempre cercati sperimentalmente. Generalmente dipendono dal numero di Raynolds, che si può calcolare in funzione al Cr, per figure semplici come la sfera e il cilindro, nella seguente tabella.

Grafico 3

Il numero di Raynolds è dato, per la sfera e il cilindro, da per la lunghezza caratteristica che è data dal diametro.

Le forze di resistenza e di portanza sono causate dalla somma delle forze tangenziali e normali che operano sulla superficie del corpo. La resistenza dovuta alle azioni tangenziali si chiama attrito superficiale, o resistenza viscosa; è il tipo di resistenza più importante, in cui l’ area di superficie parallela alla direzione del moto è grande rispetto all’ area proiettata, normale alla direzione del moto. Per esempio, la resistenza d’ attrito superficiale è responsabile di tutta la resistenza nel caso della lastra piana parallela al letto del vento. La resistenza dovuta a sforzi normali si chiama resistenza di forma, o di pressione, più importante e spesso predominante per i profili tondeggianti. Il fluido non è senza attrito e lo strato limite esiste e cresce più rapidamente con con un gradiente di pressione avverso, e se quest’ ultimo è abbastanza grande si può verificare la separazione. Il grande strato limite o onda, sulla parte posteriore del corpo, risulta in una pressione minore di quella che si otterrebbe nel moto senza attrito. Questa pressione ridotta risulta in una forza in direzione del moto.

Figura2

Vediamo qui che per ridurre il gradiente di pressione avverso sulla parte posteriore del corpo, e, se possibile, prevenire la separazione. Ciò significa che sulla parte posteriore sopradescritta, dovremmo avere una curvatura progressiva; però se il corpo è troppo lungo, perdiamo il guadagno ottenuto riducendo la resistenza di pressione, per l’ aumento della forza d’ attrito superficiale. Progettare un corpo in vista della minima resistenza significa dunque, cercare un compromesso tra resistenza d’ attrito superficiale e resistenza di pressione.

Tabella 2

(coefficienti d’ attrito)

I PROFILI ALARI

Ci occuperemo ora della forma del profilo (essendoci dedicati per il momento a forme semplici) e della causa fisica della circolazione. Abbiamo visto che un cilindro dotato di rotazione genera circolazione, ma cosa potremmo ricavare da un profilo alare che non può circolare?

Abbiamo visto che la portanza è dovuta alla circolazione: e indubbiamente avremo circolazione intorno ad un profilo. Riferendoci alla figura 4, notiamo che il punto singolare sul bordo d’ attacco, là dove la velocità secondo la teoria del moto potenziale deve essere infinita, non può esistere una corrente reale, e tale corrente si regolerà automaticamente, in modo da spostare il punto di ristagno verso il bordo d’ uscita e di eliminare, in questo modo, il punto singolare. Il valore della circolazione Г attorno al profilo, è giusto quel tanto che serve per spostare il punto di ristagno verso il bordo d’ uscita. Per effettuare questo spostamento, Г deve essere negativa, e quindi la portanza deve essere positiva, come si vede in figura.

Figura 3

All’ avviarsi della corrente, il moto potenziale si presenta come in figura 3; il punto di ristagno si sposta verso la parte posteriore e si forma un piccolo vortice, che si stacca e va a perdersi a valle. Per il teorema di Kelvin, la circolazione totale nel fluido deve essere costante nel tempo, e quindi attorno al profilo si genera una Г uguale al vortice portante, ma di segno opposto. La circolazione totale nel fluido deve rimanere pari a zero, ma il suo valore attorno al profilo è un numero negativo. Il vortice resta indietro, e si perde nel campo di velocità.

Diagramma per l’ ala di un aereo

(Il Cx dovrebbe essere 7 – 8 volte il Cy)

Conta il profilo dell’ aereo, non la lunghezza dell’ ala.

Grafico 4

LA GALLERIA DEL VENTO

Le gallerie del vento sono strutture (anche di dimensioni ragguardevoli) utilizzate per compiere studi fluidodinamici e in particolare aerodinamici; infatti, vi si effettuano esperimenti per la misura degli sforzi che il vento provoca su una apparecchiatura (automobile, radiatore, aereo, ecc.). In questo modo si evita di ricorrere a metodi di calcolo numerici assai complessi, visto anche che in questo campo, a regimi ad alta quantità di Reynolds (regime turbolento), non si ha grande rigore matematico.

Figura 4

Eccone la descrizione.

Il ventilatore genera un flusso di aria all’interno della galleria di forma cilindrica con una certa velocità; tale aria viene fatta passare attraverso una griglia equalizzatrice di flusso che serve per creare un profilo di velocità piatto; l’aria investe quindi l’oggetto dello studio e se non sono presenti gas di scarico derivati dall’uso dei motori, il flusso generato (ancora carico di ) viene incanalato nel condotto di raccordo che lo ricicla chiudendo il circuito (l’aria con il tempo si scalda e va anche raffreddata).

Nel caso specifico delle gallerie automobilistiche, il veicolo è situato su una pedana che può essere del tipo rappresentato in figura 6. In questo caso, la pedana è costituita di un nastro scorrevole (che simula il movimento del terreno) con trasduttori di forza usati per la misura dei carichi aerodinamici scaricati sul suolo e sensori di contrasto per misurare la pressione nei vari punti.

Figura 5

Visto che il profilo inferiore dell’oggetto può essere differente da quello superiore, la risultante può essere portante (aereo) o deportante ¯ (automobile). Gli aerei hanno un rapporto di almeno 5:1 tra forza portante e forza d’attrito (l’aliante, che è l’aereo più efficiente, arriva a 10:1). Per le auto, al contrario, maggiore è la forza deportante e maggiore è la tenuta.

Figura 6

ESEMPIO DEI MODELLI IN SCALA

Per esempio, alla Dallara, ho una vettura vera di lunghezza pari a 4m (L) che raggiunge una velocità di 300 km/h e una vettura in scala 1:2 di 2m (L’). Il numero di Reynolds (Re) deve essere lo stesso in entrambe le auto, quindi Re=Re’.

quindi:

Se trascuriamo la lunghezza, bisogna raddoppiare la velocità.

SPINTE PRODOTTE DAL VENTO SUGLI EDIFICI

Se progetto una superficie che lavora come l’ ala di un aereo, il vento la farebbe decollare, ma se non ho superficie, lo sforzo di trascinamento diventa ininfluente. Invece un ponte con forma ricurva che possiede una struttura metallica reticolare, non rischia di venire portato via dal vento perché quest’ ultimo gli passerebbe attraverso.

ESERCIZI

Esercizio 1

A che velocità cadono le gocce di pioggia?

Supponiamo che le gocce siano sfere e che quando si impattano sulla superficie, assumano la forma di un dischetto schiacciato:

Figura 1

Consideriamo una goccia piccola che scende piano. Quest’ ultima, di diametro 1mm e densità , cade senza subire deformazioni. Conoscendo la densità dell’ aria, , calcolare la velocità con cui cade la goccia.

Sulla goccia agiscono alcune forze:

Figura 2

· La forza peso Fp rivolta verso il basso:

(1)

· La forza resistente di attrito, diretta verso l’ alto:

(2)

Dato che la velocità di caduta è uniforme quando la due forze (Fp e Fr) sono uguali calcoliamo, sostituendo in (2), Fr:

Adesso calcoliamo V che è il volume della goccia e che è la sua area frontale, in funzione del diametro D:

Sostituendo otterremo:

Dopo aver semplificato otteniamo la velocità nel seguente modo:

La velocità è quasi proporzionale al diametro della goccia.

Esercizio 2

Supponiamo ora, di essere in mare e lasciamo cadere un masso: noteremo che quest’ ultimo viene respinto dall’ acqua per opera della forza di galleggiamento (Fg).

Figura 1

Dati:

Quindi calcolo il Numero di Reynolds, per potere ricavare, in seguito, il :

Ora che ho calcolato il numero di Reynolds, e dato che anche il dipende dalla velocità, devo procedere a tentativi ipotizzando valori di velocità ( in questo caso ).

Primo tentativo:

Vado sul diagramma (grafico3) che mi da il Cr per la sfera. In questo caso il Cr vale circa 1.7 e calcolo:

In questo caso il Re non va bene e di conseguenza, devo ricalcolare il numero di Reynolds.

Secondo tentativo:

Prendo anche questa volta il Re e vado sul diagramma a cercare il Cr corrispondente. In questo secondo caso il Cr vale circa 1.2 e calcolo:

Anche da questo calcolo, vediamo che il Cr non va ancora bene e procedo calcolando per la terza volta il numero di Reynolds, sempre andando a sostituire la velocità (u) precedente.

Terzo tentativo:

Vado anche questa volta sul diagramma che mi da il Cr, che in questo caso vale 0.8, e trovo:

Devo procedere fino a quando non trovo un valore di velocità che si discosta da quello calcolato in precedenza, di una quantità minore della tolleranza richiesta.

Esercizio 3

In una linea elettrica, I diametri dei pali e dei fili sono rispettivamente 10cm e 3mm. I pali sono alti 10m e il filo è lungo 50m. Il vento soffia in direzione ortogonale alla linea a una velocità di 100km/h.

Determino, dunque, la forza di trascinamento del filo e del palo e il momento flettente.

Dati:

Figura 1

Il palo (P) tende a ruotare e abbiamo un momento flettente che è una forza per un braccio e si misura in . Ora andiamo a calcolare la forza sul filo () e il numero di Reynolds (Re) per il filo:

Una volta trovato il Re, vado sul diagramma (grafico 3) per il cilindro (dato che stiamo avendo a che fare con un filo) e trovo il che vale circa 1.

Anche in questo caso vado sul diagramma (grafico 3) e trovo il per il palo che vale circa 1,2 e calcolo la forza esrcitata da u sul palo:

In conclusione abbiamo questa situazione:

Figura 2

Così possiamo calocolare il momento flettente come segue:

Esercizio 4

Consideriamo ora, un palazzo di 30m di altezza e 80m di base soggetto alle forze del vento che soffia perpendicolare all’ edificio con una velocità di 100 Km/h cioè 27.77 m/s.

Figura 1

Dati:

H=30m

B=80m

Si calcoli quindi, la pressione dovuta dal vento e la forza di trascinamento di quest’ ultimo nei seguenti modi:

Dove:

P è la pressione del vento

u è la velocità del vento

è la densità dell’ aria

Osservazioni:

Un caso particolare sono le coperture curve come, per esempio, alcuni palazzetti dello sport:

Figura 1

In questa situazione, il Cy può arrivare a valere 10 quindi avremo:

Il calcestruzzo lavora bene a compressione ma non a trazione (per esempio, quando tira il vento). Invece un materiale come il ferro lavora bene a trazione (resiste perciò alle spinte del vento) ma non a compressione.

Abbiamo detto che il Cy nel caso delle coperture ricurve arriva a livelli molto alti, ma non per questo l’ azione orizzontale non esiste. Infatti il Cx c’ è ma è molto basso, infatti può essere .